Como Derivar por Limites

Se empezara con un ejercicio no muy complejo, teniendo en cuenta la ecuación general de las derivadas

 f'(x)= lim     f(x+h)-f(x)

         h->0          h

1. f(x)= x^2 + 6x − 3

Para poder derivar la ecuación, la x debe ser reemplazada por (x+h) y -f(x) es reemplazada por la función general.

Entonces la ecuación nos quedara de la siguiente manera:

  

 f'(x)= lim   (x+h)^2 -x^2+6(x+h) - 6x

         h->0                    h                  

                

Enseguida se deberá operar la función ya que esta función se encuentra elevada al cuadrado, deberá desarrollarse por medio de bases de cuadrados perfectos, como no lo menciona el triangulo de pascal con cada una de las potencias.

La ecuación nos quedara de la siguiente manera:

f'(x)= lim  x^2+2xh+h^2-x^2+6x+6h - 6x

         h->0                            h

La función nos queda de este modo debido al desarrollo de base de cuadrados perfectos donde el primer termino es elevado al cuadrado + 2 veces el primer termino por el segundo + el ultimo termino elevado al cuadrado.

Luego de este proceso eliminamos términos semejantes para que la ecuación nos quede del siguiente modo:

 f'(x)= lim 2xh+h^2+6h

          h->0       h

En el momento de eliminar tanto la h del denominador como la del numerador se puede despejar el límite:

 f'(x)= lim 2x+0+6

         h->0     

Para finalizar obtendremos la función derivada, dejando la ecuación como:

f'(x)= 2x+6